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[Signal Processing] Signal Processing First — Chapter 2: Sinusoids

2026.02.10 by yeedawon

Signal Processing First — Chapter 2: Sinusoids

1. 과목 배경 및 Fourier의 중요성

Fourier 변환은 약 200년 전 프랑스 수학자 Fourier가 발명한 것으로, 최근 4년 사이 signal processing 분야에서 매우 활발히 사용되고 있다. 적용 분야는 다음과 같다:

  • 음향/음악 처리 — 1차원 신호
  • 이미지 처리 — 2차원 신호 (같은 이론을 확장)
  • 비디오 처리 — 3차원 신호 (이미지 + 시간 도메인)
  • 통신(Telecommunications)
  • 머신러닝 / 딥러닝 — 특히 CNN(Convolutional Neural Networks)에서 사용하는 convolution 연산은 이 과목에서 배우는 filter coefficient와 기본적으로 같은 연산이다.

2. 강의 목표 (Lecture Objectives)

  1. 사인파(sinusoidal) 신호의 일반 공식(general formula)을 작성할 수 있어야 한다.
  2. 공식으로부터 시간 축에 대한 그래프를 그릴 수 있어야 한다.
  3. 반대로, 그래프로부터 공식을 도출할 수 있어야 한다.

신호(signal)란 수학적으로 시간의 함수 x(t) 이다. 우리가 말하는 소리, 핸드폰에 들어오는 고주파 등 모두 시간의 함수로 표현된다.

3. 소리굽쇠(Tuning Fork) 예제 — Section 2-1

소리굽쇠를 잡고 놓으면 진동하며 소리가 나는데, 이 소리는 코사인 파형과 매우 유사하다.

  • 주파수: 약 440 Hz (정확히 같진 않지만 매우 유사 → “A음”에 해당)
  • 수학적 표현: A·cos(2π(440)t + φ)
  • 공기의 저항 때문에 진폭이 점점 감소하다가 결국 0이 된다 (소리가 멈춤)
  • 짧은 구간을 관측하면 주기함수로 근사 가능

주기와 주파수의 관계:

  • 한 주기를 측정하면 T ≈ 2.3ms (= 2.3 × 10⁻³ sec)
  • f = 1/T = 1000/2.3 ≈ 435 Hz
  • Hz의 의미: “1초에 몇 번 반복되는가” → 435 Hz = 1초에 435개의 주기

4. 음성 신호 예제 — Speech (BAT)

“BAT”이라는 음성의 파형은 소리굽쇠와 달리 단순한 사인파가 아니다.

  • 모음 구간에서 관찰하면 대략적으로 주기적 (정확한 주기함수는 아님)
  • 근사 주기: T ≈ 0.0065 sec

핵심 개념 — Fourier 급수:

이 파형을 주기함수로 가정하면, Fourier 이론에 의해 코사인 함수의 합으로 표현할 수 있다.

  • 이것이 Fourier Analysis (Fourier 분석)
  • x(t)를 사인파 성분으로 분해 → 주파수 스펙트럼(Frequency Spectrum) 이라 부름
  • 각 성분은 서로 다른 진폭(Amplitude), 주파수(Frequency), 위상(Phase)을 가진다
  • Chapter 3에서 자세히 학습 예정

교수님 보충 설명 (Q&A):

  • 주기함수가 아닌 일반적인 신호는 Fourier 급수로는 불가 → Continuous Fourier Transform이 필요
  • 디지털로 approximate 할 때는 sampling이 필요하며, 이는 신호의 주기와는 별개 개념

5. 파형의 디지털화 — Sampling

연속 신호 x(t)를 컴퓨터로 처리하려면 이산(discrete) 신호 x[n]으로 변환해야 한다.

연속 신호 vs 이산 신호:

  • x(t): 연속 시간 신호 = 아날로그 신호 (우리가 귀로 듣는 것)
  • x[n]: 이산 시간 신호 = 디지털 신호 (컴퓨터에서 처리)
  • x(t) → x[n] 변환 과정을 Sampling (샘플링) 이라 함 (Chapter 4에서 학습)

샘플링 예시:

  • 11,025 samples/sec → 샘플 간 간격: 1/11025 ≈ 90.7 μsec (마이크로초 = 10⁻⁶ sec)

CD 품질 디지털 사운드:

  • 샘플링 레이트: 44,100 Hz (= 44,100 samples/sec)
  • 16-bit 샘플
  • 스테레오: 2채널

왜 44,100 Hz인가?

  • 사람이 들을 수 있는 최대 주파수: 약 20,000 Hz (개인차 있음)
  • 최소 2배 이상으로 샘플링해야 함 → 20,000 × 2 = 40,000 Hz
  • 44,100은 40,000보다 약간 큰 값 (마진 포함)

1분 데이터 용량 계산:

  • 2(채널) × (16/8)(bit→byte) × 60(sec) × 44,100(samples/sec) = 10.584 MB

교수님 보충 설명:

  • 샘플링 간격(sampling rate)은 신호의 주기가 아니라, 얼마나 자세하게 신호를 표현할 것인가에 의해 결정되는 공학적 파라미터이다.
  • 신호의 주기와 sampling rate는 다른 개념이므로 혼동하지 말 것.

6. Sine과 Cosine 함수 — Section 2-2

이 과목에서는 항상 코사인(Cosine) 형태를 기본으로 사용한다.

코사인을 사용하는 이유 (동기):

  • Section 2-5에서 배울 오일러 공식(Euler’s formula): e^(jωt) = cos(ωt) + j·sin(ωt)
  • 코사인 함수는 복소 지수 함수의 실수부(Real part) 에 해당
  • 따라서 Chapter 2, 3에서는 항상 코사인 함수로 주기함수를 표현

Sine과 Cosine의 관계:

  • sin(θ) = cos(θ − π/2)
  • 코사인은 짝함수(even function): cos(−θ) = cos(θ)
  • sine 함수는 cosine 함수를 π/2만큼 이동(shift)한 것

7. 사인파 신호의 3가지 파라미터 — Section 2-3

일반 공식: x(t) = A·cos(ωt + φ)

(1) 진폭 A (Amplitude)

  • 코사인 함수의 최대값/최소값을 결정
  • 신호의 세기(signal strength/magnitude)

(2) 주파수 ω, f (Frequency)

구분 기호 단위 설명
주파수 (Frequency) f Hz (= 1/sec) 물리적 주파수, 주기의 역수
각주파수 (Radian Frequency) ω rad/sec 삼각함수에서 사용하는 주파수

핵심 관계식 (반드시 암기!):

  • ω = 2πf
  • f = 1/T
  • T = 1/f = 2π/ω

교수님 강조: 물리적으로는 f가 맞지만, 삼각함수를 다루다 보니 ω(radian frequency)가 필요하다. 이 책에서는 ω와 f를 왔다 갔다 사용하므로, 두 개의 관계를 확실히 알아야 한다.

(3) 위상 φ (Phase)

  • 코사인 함수의 시간 이동(time shift) 과 관련
  • 뒤의 내용에서 자세히 다룸

8. 공식 → 그래프 플로팅 예제

예제: 5cos(0.3πt + 1.2π)

Step 1: 파라미터 추출

  • A = 5 (진폭, 최대값)
  • ω = 0.3π rad/sec
  • φ = 1.2π rad

Step 2: 주기 계산

  • T = 2π/ω = 2π/(0.3π) = 20/3 ≈ 6.67 sec

Step 3: 피크(최대값) 위치 찾기

  • cos(0) = 1이 최대값이므로, (ωt + φ) = 0이 되는 t를 찾는다
  • 0.3πt + 1.2π = 0 → t = −4
  • 즉, t = −4에서 최대값 5를 가짐

Step 4: 그래프 그리기

  • t = −4에서 최대값 (= 5)
  • 다음 최대값: t = −4 + 20/3 ≈ −4 + 6.67 ≈ 2.67 sec
  • 이 두 점과 주기 정보로 전체 코사인 파형을 그릴 수 있음

9. 시간 이동 (Time-Shift) — φ와 t_m의 관계

시간 이동 표현

코사인 함수를 시간 이동 형태로 표현하면:

  • x(t − t_m) = A·cos(ω(t − t_m))
  • 이때 최대값(피크)은 t = t_m 에서 발생

일반 공식과의 관계

A·cos(ωt + φ)를 전개하면 A·cos(ω(t − t_m))과 같으므로:

  • φ = −ω·t_m
  • t_m = −φ/ω

(이 공식은 외울 필요 없이, ω = 2πf와 f = 1/T만 알면 쉽게 유도 가능)

예제 적용

5cos(0.3πt + 1.2π) = 5cos(0.3π(t + 4)) = 5cos(0.3π(t − (−4))) → t_m = −4에서 최대값

위상(φ)의 물리적 의미 — 시간 지연(Time Delay)

교수님 설명: φ는 시간 차이(time delay)를 나타낸다.

  • 예: 순수 코사인 신호가 바로 들리는데, time delay가 4초만큼 있으면 4초 후에 들린다는 의미
  • 3D 공간 오디오 인식: 사람은 두 귀에 도달하는 소리의 시간 차이(time shift)로 3차원 공간을 인식한다
  • 각 Fourier 성분이 서로 다른 amplitude, frequency, phase를 가질 수 있으며, phase가 다르다는 것은 각 성분이 다른 시간에 도착한다는 의미

10. 그래프 → 공식 도출 (역문제)

그래프를 관측하여 공식을 유도하는 3단계:

Step 1: 진폭 A 측정

  • 그래프에서 최대값을 읽으면 됨 (가장 쉬움)

Step 2: 주기 T 측정 → 주파수 ω 계산

  • 그래프에서 한 주기를 측정
  • ω = 2π/T

Step 3: 피크 시점 t_m 측정 → 위상 φ 계산

  • 그래프에서 최대값이 나타나는 시점 t_m을 읽음
  • φ = −ω·t_m

예제 (수업 중 실습)

  • A = 5, T = 0.01 sec → ω = 2π/0.01 = 200π rad/sec
  • t_m = −0.00125 sec
  • φ = −(200π)(−0.00125) = 0.25π rad
  • 결과: x(t) = 5cos(200πt + 0.25π)

교수님 강조: 단위(unit)를 항상 생각하는 것이 좋다. ω의 단위는 rad/sec이다.

11. 위상의 모호성 (Phase Ambiguity)

코사인 함수는 2π 주기의 주기함수이므로, 위상에는 모호성이 존재한다.

  • cos(ωt + φ) = cos(ωt + φ + 2π) = cos(ωt + φ + 4π) = cos(ωt + φ − 2π) = …
  • 최대값을 만드는 t_m은 무한히 많다
  • t_m₂ = t_m + T (다음 주기의 피크)
  • t_m₂ = t_m − T (이전 주기의 피크)

이 주기함수의 특성은 나중에 Chapter 4에서 배울 sampling의 spectrum을 복잡하게 만드는 원인이 된다.

Time delay의 부호:

  • 양수(+): 신호가 일찍 도착 (advance)
  • 음수(−): 신호가 늦게 도착 (delay)
  • φ는 양수일 수도, 음수일 수도 있으며, 절대적이지 않고 기준에 따라 달라짐

핵심 공식 정리 (반드시 암기)

공식 설명
x(t) = A·cos(ωt + φ) 사인파 신호의 일반 공식
ω = 2πf 각주파수와 주파수의 관계
T = 1/f = 2π/ω 주기
φ = −ω·t_m 위상과 시간 이동의 관계 (유도 가능)
sin(ωt) = cos(ωt − π/2) 사인-코사인 변환

수업 범위

이번 수업(1주차-2)에서는 Section 2-1 ~ 2-3 및 관련 예제를 다루었으며, “공식 → 그래프”와 “그래프 → 공식” 양방향 변환, 그리고 위상의 모호성(Phase Ambiguity)까지 설명하였다. 교수님은 여기까지를 준비하셨다고 언급하며 수업을 마쳤다.

첫 번째 포스트: 네트워크 계층 — IP 주소, 서브네팅, 라우팅, NAT, DHCP →

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